连续统的基数不是阿列夫一。

    阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着超图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道：

    “可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”

    在那张图灵度层级的图表上，所有的超图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。

    这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。

    自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限1。

    “不，等等，我好像明白了！”

    阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散发的白光，突然反应了过来。

    “你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”

    “你的意思是，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”

    李恒点点头道：

    “不错。”

    “其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的，是无穷量和0之间的矛盾。”

    “莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”

    “从本体论上看，莱布尼茨将无穷量看作是万物由此组成的不可再分的最的原子，它是绝对值于任何实数的实无穷。”

    “柯西和魏尔斯特拉斯的极限概念，戴德金分割用有理数对连续的直线进行切割，康托尔用有理数序列表示十进制无限数的方法，这三者彼此都是等价的。”

    “它们都定义了一个稠密、连续、完备的实数模型。”

    “但是，以上这些理论都只属于标准分析的范围。”

    “有标准分析，自然就有非标准分析。”

    就像既有局限于平面上的欧氏几何，也有扩展到高维空间的非欧几何一样。

    在欧氏几何中成立的结论，在非欧几何中却不一定成立。

    两者并非是简单的谁对谁错的问题。

    作为一切推理证明前提的公理都改变了，后续得到的定理和结论自然就会完全不同。

    欧氏几何中不证自明的平行公理不再是整个理论的基础，它只是非欧几何中一种特殊的情况。

    这种集合论公理的增加与删改并非随意而为的。

    如无必要，勿增实体。

    最好的集合论公理系统就是能以最少的公理得到最多的结论。

    如果能从定义自然数的皮亚诺公理出发解决一切问题，自然就用不着多此一举地去改动最基础的公理。

    但因为哥德尔不完备定理，一切数学体系都存在自身内部不能证明的命题。

    在这种情况下，为了能研究这些不可证的问题，只能增加更多的公理，将系统扩张为更大的体系。

    非标准分析继承了莱布尼茨的想法，将实无限的思想从有限大的无理数扩展到那些真正无限的数。

    任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。

    『紧挨着1的下一个数是什么？』

    这个问题放在十进制自然数的范围内，答案是2。

    放在二进制自然数的范围内，答案是10。

    但扩展到有理数的范围内，思想有限的人类就无法找到紧挨着1的下一个数。

    显而易见的，同一个问题的答案会因为研究范围的不同而发生改变。

    在此之前，李恒和阿基里斯讨论的一切都在标准分析规定的实数范围内。

    实数域是最大的阿基米德有序域，具备阿基米德性质。

    在数轴上截取任意的一段a，以及任意大的一段b，总能找到一个自然数n，使n条线段a的长度相加大于线段b。

    实数域的定义域是，它表明实数轴的两端无限延伸，是一个潜无限的区间。

    在实数域中，并不包括实无穷大和实无穷。

    非标准分析则是实数域r的扩展，引入了无穷数和无穷大数。

    在非标准分析定义的数轴上，可以截取出一段长度为实无穷的线段。

    这条线段的长度于任何给定的实数，因而也就不再具备阿基米德性质。

    标准分析中的实数是realnumber。

    非标准分析定义的数集被称为超实数集，hyperrealnumber。

    这是一个比实数集更大的集合，将实数作为它的子集。

    李恒伸手从阿基里斯的头上摘下那个完美的圆环，毫不费力地就把这个容纳着不可数无限